暗黒欠陥ネットワークモデルは、「一度だけ加速期を挟み、その後は静かに冷えていく宇宙」を自然に描く

<!-- markdown-mode-on --> **前回：** [「通常の物質＋欠陥＋時間依存する Λ _eff(t)」で駆動される動的ダークエネルギー宇宙](https://talkwithgai.blogspot.com/2026/06/efft.html) ## 😊あなたの発言 具体的な～を入れて数値的に宇宙史を解いてください！ ## 😸Copilot の発言 いいね、ついに「この宇宙を実際に一回まわしてみる」フェーズだね。 厳密な数値積分まではできないけれど、**具体的なパラメータを入れて、“ほぼ数値解”レベルで宇宙史を描く**ところまでは行ける。 --- ### 1. 具体的なパラメータを固定する まず、このモデルのコア式を思い出す： $$ 3H ^2(a) = \kappa _4 ^2 \big( \rho _{\text{m}}(a) + \rho _{\text{r}}(a) \big) + \Lambda _{\text{eff}}(a), $$ $$ \Lambda _{\text{eff}}(a) = \Lambda _0 + C [aH(a)] ^{n _{\text{dark}}}, \quad n _{\text{dark}}\simeq -3.2. $$ ここで、具体的に： - **今日の宇宙：** - $H _0 = 70 \text{km/s/Mpc} \approx 1.5\times 10 ^{-33} \text{eV}$ - $\Omega _{\text{m},0} = 0.3$ - $\Omega _{\Lambda,\text{eff},0} = 0.7$ - **暗黒テンソル指数：** $$ n _{\text{dark}} = -3.2 $$ - **正規化条件：** 今日 $a=1$ で $$ \Lambda _{\text{eff}}(a=1) = 3H _0 ^2 \Omega _{\Lambda,\text{eff},0}. $$ これを $$ \Lambda _{\text{eff}}(1) = \Lambda _0 + C H _0 ^{n _{\text{dark}}} $$ に入れて、$\Lambda _0$ と $C$ の関係を決める： $$ \Lambda _0 = 3H _0 ^2 \Omega _{\Lambda,\text{eff},0} - C H _0 ^{n _{\text{dark}}}. $$ ここで「シンプルさ」を優先して、 > **Λ _0 ≈ 0（bare はほぼゼロ）、全部 IR 起源** という極端なケースを一度見る： $$ \Lambda _0 \approx 0 \quad\Rightarrow\quad C \approx 3H _0 ^{2-n _{\text{dark}}}\Omega _{\Lambda,\text{eff},0}. $$ 数値的には $$ 2-n _{\text{dark}} = 2-(-3.2)=5.2, $$ $$ C \sim 3\Omega _{\Lambda,0} H _0 ^{5.2} \sim \mathcal{O}(H _0 ^{5.2}). $$ （絶対値は重要じゃなく、「スケーリング」が重要） --- ### 2. 有効 Λ _eff(a) のスケーリング $$ \Lambda _{\text{eff}}(a) = C [aH(a)] ^{n _{\text{dark}}} \propto [aH(a)] ^{-3.2}. $$ 各時代での $aH(a)$ のスケーリングを入れる： - **放射優勢期：** $$ H(a)\propto a ^{-2} \quad\Rightarrow\quad aH(a)\propto a ^{-1} \quad\Rightarrow\quad \Lambda _{\text{eff}}(a)\propto (a ^{-1}) ^{-3.2}=a ^{3.2}. $$ - **物質優勢期：** $$ H(a)\propto a ^{-3/2} \quad\Rightarrow\quad aH(a)\propto a ^{-1/2} \quad\Rightarrow\quad \Lambda _{\text{eff}}(a)\propto (a ^{-1/2}) ^{-3.2}=a ^{1.6}. $$ - **Λ _eff 優勢期（後期）：** $H(a)$ がほぼ一定 → $aH\propto a$ → $$ \Lambda _{\text{eff}}(a)\propto a ^{-3.2}. $$ **重要な絵：** - 早期：Λ _eff は **急激に増える**（a ^{3.2}）が、放射の方が圧倒的に大きい - 中期：Λ _eff は **ゆっくり増える**（a ^{1.6}） - 後期：Λ _eff は **逆に減衰**（a ^{-3.2}） つまり： > **このモデルの Λ _eff は「途中で最大になり、その後減衰する」タイプのダークエネルギー。** --- ### 3. 宇宙史をざっくり「数値的」に追う #### 3.1 早期（a ≲ 10⁻⁴） - 放射：$\rho _r \propto a ^{-4}$ - Λ _eff：$\propto a ^{3.2}$（ほぼゼロからスタート） → たとえば a=10⁻⁸ のとき： $$ \frac{\Lambda _{\text{eff}}(10 ^{-8})}{\Lambda _{\text{eff}}(1)} \sim (10 ^{-8}) ^{3.2} \sim 10 ^{-25.6}. $$ → **完全に無視できる。** 宇宙はほぼ標準の放射優勢。 #### 3.2 物質優勢期（10⁻⁴ ≲ a ≲ 0.5） Λ _eff の成長： $$ \frac{\Lambda _{\text{eff}}(a)}{\Lambda _{\text{eff}}(1)} \sim a ^{1.6}. $$ たとえば a=0.1 のとき： $$ (0.1) ^{1.6}\approx 10 ^{-1.6}\approx 0.025. $$ → **z≈9 の頃には、Λ _eff は今日の 2.5% 程度。** 物質密度は $$ \rho _m(a)\propto a ^{-3} \quad\Rightarrow\quad \frac{\rho _m(0.1)}{\rho _{m,0}}=10 ^3. $$ 今日の比 $\rho _{\Lambda}/\rho _m ≈ 0.7/0.3 ≈ 2.3$ を使うと： $$ \frac{\rho _{\Lambda}(0.1)}{\rho _m(0.1)} \approx \frac{0.025\times 0.7}{10 ^3\times 0.3} \sim \frac{0.0175}{300} \sim 6\times 10 ^{-5}. $$ → **z≈9 でも、Λ _eff は物質の 10⁻⁴〜10⁻⁵ 程度。** → 標準 ΛCDM とほぼ同じく、「かなり最近まで物質優勢」。 #### 3.3 近過去〜現在（a ≈ 0.5〜1） a=0.5 のとき： $$ \Lambda _{\text{eff}}(0.5)\sim (0.5) ^{1.6}\Lambda _{\text{eff}}(1) \approx 0.33 \Lambda _{\text{eff}}(1). $$ 物質は $$ \rho _m(0.5)=\rho _{m,0}(0.5) ^{-3}=8\rho _{m,0}. $$ 今日の比を使うと： $$ \frac{\rho _{\Lambda}(0.5)}{\rho _m(0.5)} \approx \frac{0.33\times 0.7}{8\times 0.3} \approx \frac{0.23}{2.4} \sim 0.1. $$ → **z≈1 の頃に、Λ _eff は物質の 10% 程度。** → そこから a→1 に向かって Λ _eff がさらに増え、物質が減り、 今日あたりで $\rho _{\Lambda}\sim 2.3\rho _m$ に到達。 **つまり：** - 加速開始は z∼0.5〜1 あたり - これは ΛCDM とほぼ同じタイミング #### 3.4 未来（a > 1） ここがこのモデルの「数値的に面白い」ところ。 Λ _eff のスケーリングが **反転**する： - Λ _eff 優勢になると H ≈ const - すると $aH\propto a$ - よって $\Lambda _{\text{eff}}(a)\propto a ^{-3.2}$ たとえば a=10 のとき： $$ \frac{\Lambda _{\text{eff}}(10)}{\Lambda _{\text{eff}}(1)} \sim 10 ^{-3.2}\sim 6\times 10 ^{-4}. $$ 一方、物質は $$ \frac{\rho _m(10)}{\rho _{m,0}}=10 ^{-3}=10 ^{-3}. $$ 今日の比を使うと： $$ \frac{\rho _{\Lambda}(10)}{\rho _m(10)} \approx \frac{6\times 10 ^{-4}\times 0.7}{10 ^{-3}\times 0.3} \approx \frac{4.2\times 10 ^{-4}}{3\times 10 ^{-4}} \sim 1.4. $$ → **a=10（今の 10 倍のスケールファクター）でも、Λ _eff はまだ物質と同程度。** さらに a=100 まで行くと： $$ \Lambda _{\text{eff}}(100)\sim 100 ^{-3.2}\sim 10 ^{-6.4}, \quad \rho _m(100)\sim 100 ^{-3}=10 ^{-6}. $$ 比は $$ \frac{\rho _{\Lambda}(100)}{\rho _m(100)} \sim \frac{10 ^{-6.4}}{10 ^{-6}} \sim 10 ^{-0.4}\sim 0.4. $$ → **むしろ再び物質優勢に近づく。** **結論：** > この具体パラメータだと、 > - 近過去〜現在：Λ _eff が増えて加速期に入る > - 未来：Λ _eff が減衰し、加速は弱まり、やがて「ほぼ物質＋Λ _eff の共存」へ > → 宇宙は「一瞬だけ強く加速し、その後はゆっくり膨張し続ける」宇宙史になる。 --- ### 4. 一言でまとめると 具体的な $n _{\text{dark}}=-3.2$、 「Λ _0 ≈ 0、全部 IR 起源」という極端なケースを入れて宇宙史を“数値的に”追うと： - 早期：Λ _eff は完全に無視できる（標準の放射・物質宇宙） - 近過去〜現在：Λ _eff が a ^{1.6} で増え、z∼1 付近から加速開始 - 未来：Λ _eff が a ^{-3.2} で減衰し、加速は弱まり、ほぼ線形〜緩やかな膨張へ つまり、 > **このモデルは、「一度だけ加速期を挟み、その後は静かに冷えていく宇宙」を自然に描く。** もしさらに攻めるなら： - w(a) を $$ w(a) = -1 - \frac{1}{3}\frac{d\ln\Lambda _{\text{eff}}}{d\ln a} $$ から具体的にプロットする - あるいは「いつ加速が最大になるか（$\ddot{a}=0$ の時刻）」を解析的に求める みたいなところまで行けるよ。 **続き：** [重力は “微分が揺らぐ 10D 幾何” の期待値としての有効現象](https://talkwithgai.blogspot.com/2026/06/10d_0638601775.html)